相对运动

内容概要

写于 2020 年 5 月，文章介绍了一个关于高中物理 板块运动 相关题目的 快速解法。

此方法源于一本课外书上的例题，核心思想利用了运动的相对性，通过 变换参考系，将两个都在运动的物体转换为一个运动的物体和一个静止的物体，然后从 不同的视角（整体和单个物体）去分析问题，显著简化了思考过程和计算量。

在尝试用同样的思路解决其他运动问题时发现其局限性很大，因此我详细总结了它的适用场景和注意事项，并尝试将该方法的核心思想应用到其他力与运动类问题的解法中。

例题引入

一个人复习好无聊，总是想偷懒~ 不如总结一下写过的一本资料，和大家分享一下。

这个方法叫 相对运动，是我从一本资料书上了解到的，主要针对 板块运动 类题目，解法会很简单。比如下面这道题：

题目描述

2015 · 高考全国卷 II

下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害。某地有一倾角为 $\theta=37^\circ\left(\sin37^\circ=\dfrac{3}{5}\right)$ 的山坡 $C$，上面有一质量为 $m$ 的石板 $B$，其上下表面与斜坡平行；$B$ 上有一碎石堆 $A$（含有大量泥土），$A$ 和 $B$ 均处于静止状态。假设某次暴雨中，$A$ 浸透雨水后总质量也为 $m$（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，$A$、$B$ 间的动摩擦因数 $\mu_1$ 减小为 $\dfrac{3}{8}$，$B$、$C$ 间的动摩擦因数 $\mu_2$ 减小为 $0.5$，$A$、$B$ 开始运动，此时刻为计时起点；在第 $2\ \text{s}$ 末，$B$ 的上表面突然变为光滑，$\mu_2$ 保持不变。已知 $A$ 开始运动时，$A$ 离 $B$ 下边缘的距离 $l=27\ \text{m}$，$C$ 足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小 $g=10\ \text{m/s}^2$。求：

(1) 在 $0\sim2\ \text{s}$ 时间内 $A$ 和 $B$ 加速度的大小；
(2) $A$ 在 $B$ 上总的运动时间。

是不是不太清晰~ 没关系，就第一问而言，先看看标准解析：

解析过程

解：(1) 在 $0\sim2\ \text{s}$ 时间内，$A$ 和 $B$ 的受力如图所示，其中 $f_1$、$N_1$ 是 $A$ 与 $B$ 之间的摩擦力和正压力的大小，$f_2$、$N_2$ 是 $B$ 与 $C$ 之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示。

由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得

$$f_1=\mu_1 N_1$$

$$N_1=mg\cos\theta$$

$$f_2=\mu_2 N_2$$

$$N_2=N_1'+mg\cos\theta$$

规定沿斜面向下为正，设 $A$ 和 $B$ 的加速度分别为 $a_1$ 和 $a_2$，由牛顿第二定律得

$$mg\sin\theta-f_1=ma_1$$

$$mg\sin\theta-f_2+f_1'=ma_2$$

$$N_1=N_1'$$

$$f_1=f_1'$$

联立 ①②③④⑤⑥⑦⑧ 式，代入题给数据得

$$a_1=3\ \text{m/s}^2$$

$$a_2=1\ \text{m/s}^2.$$

不用耐心看完，主要是想让你体会一下标准的解法会很麻烦，比如分析摩擦力方向等等。

快速解法

下面看看 相对运动 的解法：

对整体：$a_{AB}=\sin\theta \,g-\mu_2\cos\theta \,g=2\ \text{m/s}^2$

对 $A$：$a_A=\sin\theta \,g-\mu_1\cos\theta \,g=8\ \text{m/s}^2$

因为 $a_A>a_{AB}$，故 $A$ 相对于 $B$ 下滑。

先用 整体法 判断一下相对运动，这里大家可能不理解，没关系，下面介绍摩擦力时会再详细解释。

快速解法的过程：

① 对 $A$：

$$a=\frac{\sum F}{m}=\sin\theta \,g-\mu_1\cos\theta \,g=3\ \text{m/s}^2$$

② 对 $AB$（整体）：

$$\sum F=\sin\theta\cdot 2mg-\mu_2\cos\theta\cdot 2mg=4m\ (\text{N})$$

③ 由 $\sum F=m_A a_A+m_B a_B$，解得 $a_B=1\ \text{m/s}^2$。

$$\sum F=m_A a_A+m_B a_B$$

$$a_B=1\ \text{m/s}^2$$

$\sum$ 是求和的符号，需要用箭头标明方向，因为方向不同会导致结果不同。

一共就三步，没有摩擦力方向的判断，也不需要什么思考，1分钟搞定。

适用场景

下面详细介绍一下关于 相对运动 这种解法的适用场景。

例题是乱编的，数据也可能不准确，重要的是理解思路，就不必在意计算过程是否正确了~

相对位移

例题解析

如上图所示，$A$ 瞬间滑上 $B$，一段时间后 $A$ 恰好运动到 $B$ 右端，求 $B$ 的长度。（$A$ 可以视为质点）

解：对 $A$：

$$a_A=\frac{\sum F}{m}=\mu_1 g=5$$

对整体：

$$\sum F=\mu_2(m_A+m_B)g=7=m_A a_A+m_B a_B$$

代入数据，解得

$$a_B=9$$

$AB$ 的相对加速度 $a_{AB}=14$

$AB$ 的相对速度 $v_{AB}=4$

由 $v^2=2ax$，解得

$$L=\frac{4}{7}$$

看上去有些长，但仔细体会一下，这样草稿纸上几十秒就出结果了，没有摩擦力方向分析，没有联立方程。

核心思想

以最开始那个斜面问题为例，常规解法要分析 $AB$ 间的摩擦力对 $A$ 的作用，对 $B$ 的作用，斜面对 $B$ 的作用，方向、大小，有一样搞错，整道题就错了。

相对运动的解析过程就很简单：

对 $A$，$a_A=g\sin\theta-\mu g\cos\theta$，很容易解；

对整体 $\sum F=2mg\sin\theta-2\mu mg\cos\theta$，也很容易解。

由整体分析：$\sum F=m_1a_1+m_2a_2+\dots$，代入 $m_1a_A$ 就解出 $a_B$ 了。

整体 $\sum F$ 就是把 $AB$ 看作整体，不去分析 $AB$ 间的相互作用，而是先从整体入手，求出 $\sum F$，再解出 $a_A$，

那么很麻烦的 $a_B$ 由 $\sum F=m_A a_A+m_B a_B$ 就解出来了。（以上都是矢量表达式）

第一类相对问题，利用了 速度的相对性，也可以推广到其他矢量，例如加速度等运动矢量，这类问题就是解 $AB$ 间的相对运动。

用 $\Delta v$ 或 $v_{AB}$ 表示 $AB$ 间的相对运动速度，$a_A/a_{AB}$ 表示相对加速度。（$v_{AB}=v_{AO}+v_{OB}$）

“A恰好运动到B右端” 等同于 $\Delta v$ (或 $v_{AB}$) $=0$ 时相对位移恰好为 $B$ 板的长度。

因此用相对运动观点就有 $(\Delta v)^2=2\Delta a\cdot x$，解出 $x$ 即板长。

而 $(\Delta v)^2=2\Delta a\cdot x$ 就是第一类问题的核心公式了。

对地位移

例题解析

仍然是上面的问题，求 $B$ 的对地位移。

解：对 $A$：$a_A=\dfrac{\sum F}{m}=\mu_1 g=5$

对整体：$\sum F=\mu_2(m_A+m_B)g=7=m_A a_A+m_B a_B$

代入数据解得 $a_B=9$

$AB$ 间的相对速度 $v_{AB}=4$，$a_{AB}=14$

当 $A$ 相对于 $B$ 静止时，$v_{AB}=0$

由 $\Delta v=\Delta a t$，解得 $t_1=\dfrac{2}{7}\mathrm{s}$

$A$ 相对于 $B$ 运动 $\dfrac{2}{9}\mathrm{s}$ 后，因为 $\mu_1>\mu_2$，故二者共速后整体运动。

$B$ 的对地位移 $L=s_1+s_2$

$s_1=\dfrac12 a_B t_1^2=\dfrac{18}{49}$

由 $v_B'=a_B t_1=\dfrac{18}{7}$，$v^2=2 a x_2$，解得 $s_2=\dfrac{162}{49}$

故 $L= s_1+s_2=\dfrac{180}{49}$

$AB$ 间的相对速度等于 $A$ 相对于地面的速度与地面相对于 $B$ 的速度的矢量和：若$v_{BO}=\vec{2}$，则$v_{OB}=-\vec{2}$。

$v_{AB}=v_{AO}+v_{OB}$（同样适用于二维运动）

核心思想

第一类是 相对问题，用相对运动的核心公式 $v^2=2ax$ 就可以解决；第二类是 对地问题，关键是用相对运动解出时间 $t$，就可以很简单地划分运动阶段。

$\Delta v=\Delta a \cdot t$ 可以由相对速度的整体变化解出时间 $t$，$t$ 是第二类问题的关键信息，因为 相对 和 对地 不变的是 时间。解出 $t$ 后，就能够划分运动阶段，然后解出结果即可。

• $t$ 之前是 $AB$ 相对运动，有 $a_{B1}$、$v_{B1}$、$s_1$。
• $t$ 之后是 $AB$ 整体运动，有 $a_{B2}$、$v_{B2}$、$s_2$。

这里需要注意两个问题：

1. 由 $\Delta v=\Delta a t$ 解出 $t$ 之后，一定要解得

   $$\begin{cases} v_B=a_B t \\ v_A=v_0-a_A t \end{cases}$$

   这里的 $a$、$v$ 是对地参数，根据 $t$，可以解出第一段后 $B$ 在第二段开始的初速度，而 $v_B = a_B t$ 和 $a_B$，这两个信息就是解出最终结果的关键。（$a_B t=v_B$，$a_B$ 是 $B$ 的对地加速度，只需要利用相对运动解出 $t$ 就足够了）

2. 刹车陷阱这里也会有，但是不常见。（很少遇见的，这里不详细讲了，我也没遇到过几个~ ）

“因为 $\mu_1>\mu_2$，故之后 $AB$ 整体运动”

这里提一下关于摩擦力的个人理解：摩擦力是由相对运动产生，并阻碍相对运动，这个阻碍能力，就体现在 $\mu$。

比如的刚才问题：

$$\begin{cases} \mu_1=0.5 \\ \mu_2=0.1 \end{cases}$$

为什么 $\Delta v=0$（$AB$ 相对静止）之后 $AB$ 就不会相对运动了呢？

① 因为 $\mu_1=0.5$，即摩擦力给 $A$ 提供的最大加速度是 $a=\mu_1 g=5$，不妨记为 $f_{AB}$ 的阻碍能力是 $5$。
② 假设 $AB$ 不相对运动，那么 $a=\mu_2 g=1$。

显然 $1<5$，摩擦力给 $A$ 提供的最大加速度为 $5$ 大于 $1$，代表摩擦力足够抵消相对运动，因此 $AB$ 不会发生相对运动。（斜面问题同理）

弹性碰撞

利用运动的相对性，还可以解这类问题：弹性碰撞。

例题解析

$v_A=9\ \text{m/s},\quad v_B=2\ \text{m/s}$
$m_A=5\ \text{kg},\quad m_B=2\ \text{kg}$

$AB$ 发生弹性碰撞，碰后 $v_A=? \quad v_B=?$

解：以 $B$ 为参考系，假设 $B$ 的速度为 $0$，即 $v'=v+2$。

则 $v_A'=7\ \text{m/s},\quad v_B'=0$。

由

$$\begin{cases} \dfrac12m_1v_0^2=\dfrac12m_1v_1^2+\dfrac12m_2v_2^2 \\ m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2 \end{cases}$$

得

$$\begin{cases} v_A''=\dfrac{m_A-m_B}{m_A+m_B}v_A'\\ v_B''=\dfrac{2m_A}{m_A+m_B}v_A' \end{cases}$$

故

$$\begin{cases} v_A''=3\ \text{m/s}\\ v_B''=10\ \text{m/s} \end{cases}$$

又

$$\begin{cases} v_A''=v_A'+2\\ v_A''=v_B'+2 \end{cases}$$

解得

$$\begin{cases} v_A'=5\ \text{m/s}\\ v_B'=12\ \text{m/s} \end{cases}$$

故碰后 $v_A=3\ \text{m/s},\quad v_B=10\ \text{m/s}$。

核心思想

通过变换参考系，将两个都在运动的物体转换为一个运动的物体和一个 静止 的物体，简化计算过程。

方法总结

相对运动解法适用于三类问题：

1. 相对问题（关键：$\Delta v^2=2\Delta a x$）
2. 对地问题（关键：$t$）
3. 弹性碰撞（切换参考系）

可以显著简化思考过程和计算量。

测试用例

2016 · 高考四川卷

避险车道（标志如图甲所示）是避免恶性交通事故的重要设施，由制动坡床和防撞设施等组成，如图乙所示的竖直平面内，制动坡床视为水平面夹角为 $\theta$ 的斜面。一辆长 $12\text{ m}$ 的载有货物的货车因刹车失灵从干道驶入制动坡床，当车速为 $23\text{ m/s}$ 时，车尾位于制动坡床的底端，货物开始在车厢内向车头滑动，当货物在车厢内滑动了 $4\text{ m}$ 时，车头距制动坡床顶端 $38\text{ m}$，再过一段时间，货车停止。已知货车质量是货物质量的 $4$ 倍，货物与车厢间的动摩擦因数为 $0.4$；货车在制动坡床上运动受到的坡床阻力大小为货车和货物总重的 $0.44$ 倍。货物与货车分别视为小滑块和平板，取 $\cos\theta=1$，$\sin\theta=0.1$，$g$ 取 $10\text{ m/s}^2$。求：

(1) 货物在车厢内滑动时加速度的大小和方向；
(2) 制动坡床的长度。

解：(1) 由题意，货物 $A$ 与货车 $B$ 相对滑动。

对 $A$：

$$a_A=\frac{\sum F_A}{m}=g\sin\theta+\mu g\cos\theta=5\mathrm{m/s^2}$$

对整体：

$$\sum F=5mg\sin\theta + 0.44\cdot 5mg=m_A a_A+m_B a_B$$

代入数据解得 $a_B=5.5\mathrm{m/s^2}$

综上，货物在车厢内的滑动加速度 $a_A=5\mathrm{m/s^2}$，方向沿斜面向下。

(2) $AB$ 的相对加速度 $\Delta a=0.5\mathrm{m/s^2}$，由题意得，相对初速度为 $0$。

由 $\Delta s=\frac12 \Delta a \cdot t^2$，解得 $t=4\mathrm{s}$

故货车的位移：

$$s_B=v_0 t-\frac12 a_B t^2=48\mathrm{m}$$

坡床的长度为：

$$L = s_B + d + L_0 = 98\mathrm{m}$$

其实，相对、对地就是板块运动的所有问题，这个方法用多了就会感受到，每一题都是解相对运动。我都不知道常规方法是怎么解的了哈哈，一年都没那样联立过方程了，印象就是很麻烦~

原文链接

文章中的手写矢量无法通过 LaTex 表达，严谨的解答过程请参考原文。

分享一下 高考物理 板块运动 的一些 超纲方法~

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